» Karmaşık sayılarla ilgili çözümlü örnekler - KARMAŞIK (KOMPLEKS

Yayınlanma Zamanı: 2009-08-05 16:42:00



Sponsorlu Bağlantılar
KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR


ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 ï?? x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = ï??-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b ï?? R ve ï??-1 = i } dir.
( i = ï??-1 ï?? i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = ï??3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i ï?? Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = ï??3 + i ï?? Re(Z3) = ï??3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 ï?? Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i ï?? Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ï??Δ = -(-2) ± ï??16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.







B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Buna göre , n ï?? N olmak üzere,
????: Web Hattı - Türkiyenin En Güncel Forumu /matematik/49781-karmasik-kompleks-sayilar.html

i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.

Örnek:

( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }





Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 ï?? a = 5
2b + 3 = a + b ï?? 2b + 3 = 5 + b ï?? b = 2 dir.

Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a – 2 = 0 ï?? a =2,
a + b + 3 = 0 ï?? 2 + b + 3 = 0 ï?? b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = ï??2 - ï??3i sayısının eşleniği Z2 = ï??2 + ï??3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = ï??3 - ï??2 sayısının eşleniği Z5 = ï??3 - ï??2 dir.

Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm:
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 ï?? 3a = 9 ï?? a = 3 ve
-3b = -2 ï?? b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:

__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

1) Toplama - Çıkarma

Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).

Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
ï??
Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )


Örnek:

Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,

Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i

Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i

2) Çarpma:

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.


Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)


= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )

= ac – bd + ( ad + bc )i

Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi ) ï?? Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.

Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1

c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:

a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)


= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir.

b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir.

c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir.

Örnek:

( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210

3) Bölme:

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.

Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
�� = ���� = ������� = �����������
Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2









Örnek:

Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.

Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
�� = ��� = �������� = �������� = ���� = 2 + i dir.
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5








Not:

1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,

1 1 a – bi
��� = ���� = ���� dir.
Z a + bi a2 + b2

_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
���� = ����
Z3 z3


Örnek:

3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.

Çözüm:

3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,

1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25




Örnek:

1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 – i 1 + i

Çözüm:

1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2

( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2


Örnek:

1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i


Çözüm:

1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i



F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ


1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.

3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.

Örnek:

Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,

1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.

Çözüm:

1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)


0 ree eksen 0
1 1






G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y

noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
ï?½zï?½
mutlak değeri ( modülü ) denir ve ï?½Zï?½ şeklinde gösterilir. x
a


Z = a + bi ï?? ï?½Zï?½= ï?? a2 + b2 dir.

Örnek:

Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.

Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i ï?? ï?½Zï?½

ï?½Zï?½ = ï?? 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:

Z = ( a + 2 ) + 3i
ï?½Zï?½ = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:
____________
ï?½Zï?½= 5 ï?? ï??( a + 2 )2 + 32 = 5 ï?? ( a + 2 )2 + 32 = 52 ï?? ( a + 2 )2 = 16

olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.

a + 2 = 4 ï?? a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 ï?? a = -6 dır.











H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) ï?½Zï?½= ï?½-Zï?½=ï?½ Zï?½=ï?½-Zï?½=ï?½i.Zï?½=ï?½-i.Zï?½=...

2) ï?½Z1.Z2ï?½= ï?½Z1ï?½.ï?½Z2ï?½

3) Z1 ï?½Z1ï?½
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
Z2 ï?½Z2ï?½

4) ï?½Znï?½ = ï?½Zï?½n
_
5) Z . Z = ï?½Zï?½2

6) ï?½ï?½Z1ï?½ - ï?½Z2ï?½ï?½ < ï?½Z1 ± Z2ï?½ < ï?½Z1ï?½ + ï?½Z2ï?½

Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ï?½Zï?½ = ?
1 + i

Çözüm:

3 – 3i sayısının mutlak değeri, ï?? 32 + 32 = 3ï??2 dir.

1 + i sayısının mutlak değeri, ï??12 + 12 = ï??2 dir. O halde,

ï?½3 – 3iï?½ 3ï??2
ï?½Zï?½ = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
ï?½1 + iï?½ ï??2

Örnek:

i2 = -1 olmak üzere,

Z1 = 2 + ni

Z2 = 1 + 2i
_______
ï?½Z1 + Z2ï?½ = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

Çözüm:

Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.

ï?½Z1 + Z2ï?½ = 5 ï?? ï?? 32 + (n + 2)2 = 5 ï?? 32 + (n + 2)2 = 52 ï?? (n + 2)2 = 42 olduğundan,

n + 2 = 4 ï?? n = 2 veya
n + 2 = -4 ï?? n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:

i2 = -1 olmak üzere ,

1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ï?½Z10ï?½=?
1 + xi
Çözüm:

ï?½Z10ï?½ = ï?½Zï?½10 dur.

1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan ï?½1 - xiï?½ = ï?½1 + xiï?½ dir. Buna göre,

ï?½1 - xiï?½
ï?½Zï?½ = ¾¾¾ = 1 ve ï?½Zï?½10 =110 = 1 dir.
ï?½1 + xiï?½


1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,

ï?½Z1 – Z2ï?½ = ï??(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.

2) ï?½Z – Z0ï?½ = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

Örnek:

A = Z : ï?½Z – 4 – 3iï?½ = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.

Çözüm:

Z = x + yi olsun, y

ï?½Z – 4 – 3iï?½ = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
3
ï?½ x + yi – 4 – 3iï?½= 2

ï?? (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.

Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.









SORULAR

1) i = ï??-1 olmak üzere

ï??-2 . ï??-8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
ï??(-3)2
Çözüm:

ï??-2 . ï??-8 + 1 ï??-1. ï??2. ï??-1.ï??8 + 1 i. ï??2.i.2ï??2 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
ï??(-3)2 ï?½-3ï?½ 3 3 3

2) i = ï??-1 olmak üzere,

i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.

Çözüm:

i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,

i-5 = i-5+8 = i3 = -i,

i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i


3) i2 = -1 olmak üzere,

2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1

Çözüm:

2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1

2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2









4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 – i 2 + i

Çözüm:

1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 – i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 – i)

5) x < 0 olmak üzere,

Z = ï?? -x2 + 2x –1 + ï?½-xï?½+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

Çözüm:

Z = ï?? -x2 + 2x –1 + ï?½-xï?½+ 2x

Z = ï?? -1.(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)

Z = ï??-1 . ï?½x - 1ï?½ + x

Z = x + (1 – x)i bulunur.

Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.

Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1


6) i = ï??-1 olmak üzere,

Z1 = a + i

Z2 = 2 – i
______
ï?½Z1 – Z2ï?½ = 2 olduğuna göre a = ?

Çözüm:

Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
______
Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
______
ï?½Z1 – Z2ï?½= 2 ï?? ï??(a – 2)2 + (-2)2 = 2 ï?? (a – 2)2 + (-2)2 = 22 ï?? (a – 2) 2 = 0 ï?? a = 2






7) i = ï??-1

i + 1
¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z

Çözüm:

i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 – i ï?? Z = ¾¾ ï?? Z = ¾ ï?? Z = i .
Z 1 - i 2
(1 + i)

Z2003 = i2003 = i3 = - i

8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, ï?½Zï?½ = ?

Çözüm:
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i ï?? (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i ï?? xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i

ï?? -x + (2x + y)i = 2 – 3i

-x = 2 ï?? x = -2 ve 2x + y = -3 ï?? -4 + y = -3 ï?? y = 1

ï?? Z = -2 + i ve ï?½Zï?½ = ï??5

9) i = ï??-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2.ï?½Zï?½ Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
Z - Z i

Çözüm:
_
Z = x + yi ï?? Z = x – yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi

ï?½Zï?½2 = ( ï?? x2 + y2 )2 = x2 + y2

ve Re(Z) – İm(z) = x – y .

_
2.ï?½Zï?½ Z + Z 2.ï?½Zï?½ 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾ ï?? ¾¾¾¾ = ¾¾ ï?? (x + y)2 = 0 ï?? x – y = 0
Z - Z i Z - Z i




10) i = ï??-1 ve Z = x + yi olmak üzere,

ï?½Z – 3iï?½ < ï?½Z + 3ï?½ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x

Çözüm:

ï?½Z – 3iï?½ < ï?½Z + 3ï?½

ï?½x + yi – 3iï?½ < ï?½x + yi + 3ï?½

ï?½x + (y – 3)iï?½ < ï?½(x + 3) + yiï?½

ï??x2 + (y – 3)2 < ï?? (x + 3)2 + y2

x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2

x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2

-6y < 6x

y > -x


Duyuru
Sitemizde güncelleme çalışmaları devam etmektedir.
Görüş ve önerilerinizi bizimle paylaşabilirsiniz !